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自由電子(じゆうでんし, free electron)とはポテンシャルがゼロ、つまり何ら束縛を受けていない電子のこと。

この自由電子をモデルとしたものを自由電子モデル(自由電子模型、Free electron model→自由電子近似)と言う。金属の伝導電子のモデルとして使用される。(←強く束縛を受ける伝導電子などには適用できない)また、電子同士の多体相互作用も無視している。

自由電子のバンド構造(E-k曲線)は、から放物線であり、フェルミ面の形状は球状となる。

◆自由電子モデル

以下、自由電子の質量をm、(h:プランク定数)とし、温度は絶対零度(T = 0 K)とする。

シュレーディンガー方程式でポテンシャルをゼロとするとエネルギーは波数の二乗に比例する。電子はフェルミ粒子なので同じ状態に1つ(スピン自由度を含めると2つ)しか入ることができず、エネルギー最低の状態から順に詰まっていく。エネルギーの最大値をフェルミエネルギーとよび、それに相当する波数・運動量をフェルミ波数、フェルミ運動量とよぶ。

:フェルミ波数 : $k\_F\; \backslash ,$

:フェルミ運動量 : $\backslash hbar\; k\_F$

:フェルミエネルギー:

波数とエネルギーの関係が求まったので、エネルギーの関数である状態密度 D(E) を計算することができる。(→参照:状態密度)

:状態密度(一次元):

:状態密度(二次元): $D(E)\; =\; \backslash ,\; constant$

:状態密度(三次元): $D(E)\; \backslash simeq\; \backslash sqrt$

N個の自由電子(三次元)からなる系の全エネルギーE_totは、

:$E\_=\; \backslash int\_^D(E)E\; dE\; =N\; E\_F$

となる。これより自由電子一個当りでは、

:$\backslash left\backslash langle\; E\; \backslash right\backslash rangle\; =E\_F$

となる(<E>は一個当り〔平均〕を意味する)。

自由電子での体積弾性率Kは、系の体積をΩとして、

:

となる。Kの逆数が圧縮率κで、

:

となる。これは、E_F∝k_F²∝(Ω)^-2/3(k_Fは体積の-1/3乗に比例する量)及び、$P\; =\; -\; \backslash partial\; E\_/\; \backslash partial\; \backslash Omega$(Pは圧力、E_totは自由電子の全エネルギー)を使って得られる。

◆関連記事

・物性物理学

・ほとんど自由な電子

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