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定常波(ていじょうは、standing waveまたはstationary wave)とは、波長・周期(振動数または周波数)・振幅・速さ(速度の絶対値)が同じで進行方向が互いに逆向きの2つの波が重なり合うことによってできる、波形が進行せずその場に止まって振動しているようにみえる波動のことである。定在波(ていざいは)ともいう。

◆特徴

#各点は同じ位相・周期で振動する。そのため全ての点の変位が0になる時刻および全ての点の変位が最大になる時刻が存在する。

#媒質中の各点はそれぞれの位置に応じた振幅で振動する。

#全く振動せず振幅が0になる点および振幅が最大になり変位が最も揺れ動く点が現れる。前者を節(node)、後者を腹(anti-node)という。重なり合う2つの波の波長をλとすると、節および腹はそれぞれλ/2ごとに現れる。

#腹における振幅は元の波の2倍になる。

#各点の振動の周期は元の波と同じである。

◆正弦定常波

波長・周期・振幅・速さが等しく互いに逆向きの2つの正弦波を考える。

・:

・:

ただしAは振幅、ωは角周波数、vは伝播速度、δ₁,δ₂はそれぞれの初期位相でTは周期、λは波長、kは波数でx,tは媒質上の位置および時刻である。

この節では、これら2つの正弦波によってつくられる正弦定常波

:$y(x,t)=y\_1+y\_2$

について述べる。

◇特徴

#各点は同じ位相・周期で単振動する。そのため全ての点の変位が0になる時刻t_minおよび全ての点の変位が最大になる時刻t_maxが存在する。

#媒質中の各点はそれぞれの位置に応じた振幅A_xで振動する。

#節x_minと腹x_maxはそれぞれ一定の間隔Δx=λ/2ごとに現れる。

#隣り合う節と腹の間隔も一定値となりその値はΔx'=λ/4となる。

#腹における振幅A_maxは2Aとなる。

#各点の単振動の周期τはTとなる。

t_min、t_max、x_min、x_max、Δx、Δx、A_x、A_max、τはそれぞれ以下の式で表される。

とすると、y(t)は振幅A_xで単振動をしていることがわかる。(次式)

であることがわかる。したがって波形はx軸方向に進行しないことがわかる。そのため節や腹が現れる。

また、隣り合う節と腹の間隔Δxは

:

◆定常波の発生

定常波の原因となる互いに異なる方向に進行する2つの波は、同一の波源から発生していることが多い。なぜなら、同じ振幅で同じ振動数の波源が自然に存在することは稀であるし、あるとしてもその波源から発生する波動が1次元波や平面波でないかぎり、2つの波減からの距離が異なる位置では減衰によって振幅が異なってしまい、定常波が発生しないからである。1つの波源から定常波を発生させる2つの波動が発生する状況には以下のようなものがある。

◇反射波による定常波

波の進行方向に対して垂直な面で波が反射すると、もとの波(入射波)と進行方向が逆向きの反射波が発生する。この入射波と反射波が合成することにより定常波が発生する。進行方向に対して垂直な面とはすなわち波面のことである。したがって波面が形成される面に反射壁をつくることによって定常波を発生させることができる。

反射を利用すれば1次元波や平面波以外の波でも定常波を生成することができる。たとえば3次元の球面波ならば波源を中心とした球面壁により、同じく3次元の円筒波ならば波源を中心とした円筒面により、2次元の円形波ならば波源を中心とした円形の囲いで定常波をつくることができる。

◇閉曲線上での定常波

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